快乐数学

青年文摘 日期:2020-3-22

那年,我还在读小学四年级,一天,在放学路上,伯父双手张开,不让我通过,问,100个和尚,分100个馒头,大和尚一个人分3个,小和尚3个人分一个,正好分完,你说这寺院里有多少个大和尚,多少个小和尚?我钻向东,他拦在东,我向西,他闸在西,说算不出来,不让我回家。心急火燎中,我一下冒出了大和尚25个,小和尚75个。伯父哈哈大笑,让开了大道,眯细了眼睛,表扬。此后,我将这个问题贩到了学校,问这个,考那个,成了我逗趣的一个经典法宝。

其实,我那次并没有算出来,只是直觉让我撞上了,读中学以后,才晓得这是我国唐代高僧一行提出的一道名题。一行的办法是将3个小和尚和一个大和尚分为一组,这一组正好分4个馒头,如此,100÷4=25(组),得出25个大和尚,75个小和尚(明代数学家程大位著的《算法统宗》,也选用了这道题)。这法子真聪明,比传统算术或初中方程都高明多了。就这100个和尚和100个馒头,建立了我与数学的初情:不用背,不用记,也不费钱,想想算算,情趣就来了。

进中学以后,平面几何给我打开了一扇缤纷之窗,让我晓得古希腊有一个生活在公元前3世纪的欧几里得,他写的那本《几何原本》,两千多年了,仍在作为全世界中学生的教材!天下如此奇书,谁见过第二本?这本几何让我晓得不仅仅是计算,就是画画、论证,也属于数学,且可以推得那样环环入扣,滴水不漏。我的许多逻辑知识,不是从逻辑书上学到的,而是由它给的,初有的判断、推理、论证,演绎、归纳、类比,全得自这门课。因为逆命题与逆否命题等价,就有了反证法;因为要保证思维的确定性,就有了同一法的证明;因为反证法和同一法的反复运用,反过来又加深了对同一律和不矛盾律的理解。刚学平面几何时,觉得新鲜,证得一个命题就想尝试证明它的逆命题,从中寻趣。由“等腰三角形两腰上的中线(高)相等”,去证明“两条中线(高)相等的三角形是等腰三角形”,都轻而易举,但当我触及“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”时,麻烦就来了。记得那段时间,全班男女生厉兵秣马,形形式式的草稿图形飞了一地。为此,我尝试图内添线,图外平移,都无结果,这么一个问题,全班溃败。最后,请教老师,才晓得这也是一个有名的问题,虽然全世界已有100多种方法证出了这个命题,但大部分都是间接证法,直接证明远非易事。老师说,如果你能想出一种新的直接证明,就是发现,上杂志不成问题。后来我读了些书,才晓得,这个问题《几何原本》中只字未提,1840年莱默斯给斯图姆的一封信中提到,希望他能给出一个证明,未果。后来,现代综合几何创始人之一瑞士数学家斯坦纳,首先给出了一个答案,但很复杂。后来的一段时间(1854年至1864年),每年都有新证法产生。

这一次,数学给我展现出了另一面,提醒我,许多疑难正面屡攻不克时,应该尝试反面出击或侧面进击。这不仅是数学,已是一条人生箴言,也适用其他领域。

进了高中以后,说不清是谁了,一天,拿来一个方程让我解,我说,x=10,还用算?同学说,且慢,猜出来的,不算解答,数学得有推导过程,你坐下来好好想想。于是,我开始转换成对数方程,设辅助未知数,尝试因式分解,我动用的初等数学方法,全部沉舟折戟,穷途末路中,我尝试用作图方法逼近,以一个幂函数和一个指数函数,分别描述方程两端的数值变化关系,待画出它们的图象后,直观发现,除第一象限有一个实数根x=10,十分明显第二象限在0和-1之间,也应该有一个实数根,但是,这个10怎么得出呢?那个负数根的精确值是多少呢?我一筹莫展。痛苦中,这一次数学在悄声告诉我:年轻人,大千世界变幻多多,即使一眼看穿了,也可能隔了一重洋(1824年22岁的挪威数学家阿贝尔发现,一般五次和五次以上的代数方程不可能有用根式表达的一般式求根公式)。

到“文革”后期,什么“战斗”、“批判”都搞疲了,晚上,闲了没事,三五人聚在一起什么趣事都拿来扯淡。那次,有位同事说,考考你们的智力,有13个小球,大小、色泽、重量应该一样,今晓得混进了一只与其他12只重量不同的次品球,给你一架无砝码天平,准许你称3次,能把那只次品球找出来吗?我问,那只次品球,是较重还是较轻?同事说,晓得轻、重不是太容易啦。当然,如果是左右两盘各放6只,又刚好持平,一次就找出了,但会有这样的好事吗?那天,我为这道题目考虑到深夜12点,无结果,只好上床,上了床那13只球还是在眼前不肯离去,迷迷糊糊中有了路子,起身,开灯,再战。我以两盘各放4只,一次先称8只入手,费了些周折,成功了。

数学给人的快乐是很特别的,这一次虽然没有像阿基米德那样光了身子跑上大街高呼,但绝对比我第一次吃上大龙虾,第一次钓上3斤重的鲇子鱼,都要刺激。就这一题,分类和次序,递进和反推等思维技巧已深植于心,后来晓得,称球也是一类古老的趣题。

数学给我的最近一次撞击是2000年,那次我在常州龙城书店买到一本《费马大定理》,书柜上仅此一本,是啊,平时有几个人去关心一个世界难题呢?权作收藏吧。天下事总是七彩的。当我翻开它后,已无法歇手,300多页的一本科普读物,包括序言、前言、附录,一口气就读完了,还未尽兴,一年后,我又读了第二遍。这枚费马采撷,怀尔斯砸开的坚果,350多年来,一直立于云端,时隐时现,让人感受天神一样地神秘。

怀尔斯10岁立下宏愿,冒着一生埋没,一事无成的大险,7年闭门,孤身奋战,将他30多年围绕它研读的那些数学,包括最现代的技巧,凝成一股巨力,终于攻下这个偏执怪题。350多年来,众人尝试证明中出现的疏漏,没有一个能得到补救,怀尔斯居然自己给自己堵住了那个漏洞!

这本书,让我领悟到了数学真正的艺术,欣赏到了“数学,另一种大自然的语言”的活力,聆听到毕达哥拉斯兄弟会的故事,重温了从古希腊到17世纪法国的许多数学轶事,了解了费马制作这个数学史上最有趣最深奥的谜的前前后后,浏览了17世纪至20世纪一个个数学的革命性变化和大事,且全都化解为诙谐故事和轻松趣话。跟随西蒙·辛格深入浅出的笔触,高傲数学的错觉荡然无存,只留下博大胸怀和慈祥魅力:是无理数的欧几里德证明,黑先生白先生灰先生的3人决斗,雪花为什么是六角形的解构,高斯、柯西、欧拉、希尔伯特、闵可夫斯基的音容笑貌,用最少砝码称重的贝切特方法,17年蝉的生命周期传说,销魂的点猜想论证。还有,传奇的女扮男装的热尔曼,天才中的天才伽罗华,慧眼过人的哥德尔,因这个定理获得第二次生命又让怀尔斯加上5万美元奖金的沃尔夫斯凯尔。我完全不是在读一个难题,而是在结识大批毫无架子和脾气的伟大朋友,他们都那样的博学和亲切,一次次唤起我对数学快乐感受和对人生的快乐思考。这书,我已通读两遍,还完全没有过瘾,不是我喜欢上了费马大定理,完全是费马大定理喜欢上了我。我好幸福,像我这样一个凡夫俗子,也会得到她的青睐!

总以为数学是一位不苟言笑的闺阁丽人,其实她也平易多情,只要你走近她,就一定会领略到她的千种风情、万种魅力,且无时不在以她的独特方式澄人心智,教人欢乐。

走近她,你也会收获快乐多多。

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